ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una ecuación diferencial lineal es aquella en donde las derivadas disminuyen en forma proporcional y se representan de la siguiente forma:

y^’ + p (x) y – q (x) = 0

y^’ + p (x) y = q (x)

Algoritmo:

1.- Identificar el factor integrante M = e ^{ʃ p (x) dx}

2.- Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3.- Sustituir en el primer miembro la derivada de producto de la función por el factor integrante

d / dx       y * M

4.- Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

Ejemplo:

y^’ + 2xy = x³

p (x) = 2x

M = e ^{ʃ 2xdx} = e ^x2

e ^x2 y^’ + 2xy e ^x2 = x³ e ^x2

ʃ d / dx y * e ^x2 = ʃ x² e ^x2 xdx

            y * e ^x2 = x² / 2 e ^x2 – x / 2 e ^x2 + 1 / 4 e ^x2 + c

                     y =  ⁽x² / 2 e ^x2 – x / 2 e ^x2 + 1 / 4 e ^x2 + c) / e ^x2

y = x² / 2 – x / 2 + 1 / 4 + c / e ^x2            Sol. General

(1, 3)

C = y e ^x2 – x² / 2 e ^x2 + x / 2 e ^x2 – 1 / 4 e ^x2

C = e ^x2 (y – x² / 2 + x / 2 – 1 / 4)

C = e ¹ (3 – 1 / 2 + 1 / 2 – 1 / 4)

C = e ¹ (11 / 4)

C = 7.4752      Sol. Particular