ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Una ecuación diferencial lineal es aquella en donde las derivadas disminuyen en forma proporcional y se representan de la siguiente forma:

y^’ + p (x) y – q (x) = 0

y^’ + p (x) y = q (x)

Algoritmo:

1.- Identificar el factor integrante M = e ^{ʃ p (x) dx}

2.- Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante

3.- Sustituir en el primer miembro la derivada de producto de la función por el factor integrante

d / dx       y * M

4.- Integrar la ecuación y despejar la variable independiente

Ejemplo:

y^’ + 2xy = x³

p (x) = 2x

M = e ^{ʃ 2xdx} = e ^x2

e ^x2 y^’ + 2xy e ^x2 = x³ e ^x2

ʃ d / dx y * e ^x2 = ʃ x² e ^x2 xdx

            y * e ^x2 = x² / 2 e ^x2 – x / 2 e ^x2 + 1 / 4 e ^x2 + c

                     y =  ⁽x² / 2 e ^x2 – x / 2 e ^x2 + 1 / 4 e ^x2 + c) / e ^x2

y = x² / 2 – x / 2 + 1 / 4 + c / e ^x2            Sol. General

(1, 3)

C = y e ^x2 – x² / 2 e ^x2 + x / 2 e ^x2 – 1 / 4 e ^x2

C = e ^x2 (y – x² / 2 + x / 2 – 1 / 4)

C = e ¹ (3 – 1 / 2 + 1 / 2 – 1 / 4)

C = e ¹ (11 / 4)

C = 7.4752      Sol. Particular

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Una ecuación diferencial exacta es aquella que cuenta con la siguiente estructura:

(M (x, y) dx + (N (x, y) dy) = 0

Para comprobar la existencia de una ecuación diferencial exacta se debe cumplir la siguiente condición:

aM / ay = aN / ax

Algoritmo:

1.- Comprobar que es exacta la ecuación

2.- Integrar a la función “M” con respecto a la función “ax“ y sustituir a la constante “c” por la función h (y)

3.- Se deriva a la función encontrada con respecto a “y” y se iguala con la función “m” (x, y)

af / ay = N (x, y)

4.- Se integra a la función con respecto a la variable “y” y se despeja h (y)

ʃ [af / ay = N (x, y) ]   desp. h (y)

5.- Se encuentra la solución general con la ecuación del paso 2 sustituyendo el valor h / (y) e igualarla con una constante de integración.

Ejercicio:

(2y²x - 3) + (2yx² +4) y^’ = 0

aM / ay = 4yx aN / ax = 4yx

ʃ (2y²x - 3) dx

f (x, y) = 2y²x² / 2 – 3x + h (y)

af / ay = 2y²x² + h (y) = 2yx² + 4

                        ʃ h (y) = ʃ 4 dy

                        h (y) = 4y

R= y² x² – 3x + 4y + c          Sol. General

Sol. Particular  (3, 2)

(2)² (3)² – 3 (3) + 4 (2)

(4) (9) – 9+ 8

36 – 1

= 35

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Para resolver una ecuación diferencial homogénea se utiliza un cambio de variables utilizando la variable “u” para dicho proceso con los siguientes valores:

U = y/x

Y = ux

Dy = u*dx + x * du

Algoritmo:

1.- Se sustituye “y” y “dy” en la ecuación diferencial simplificando los términos semejantes.

2.- Se separan las variables en cada miembro de la ecuación

3.- Se resuelve la integral en cada miembro para encontrar la solución general.

4.- Se calcula el valor de la constante para el cálculo de las soluciones particulares

Ejemplo:

(x² – xy – y²) dx – xydy = 0             (-3,2)

(x² – x (ux) – (ux)²) dx – x (ux) (udx + xdu) = 0

(x² – ux² – u²x²) dx – ux²  (udx + xdu) = 0

X²dx – ux²dx – u²x²dx – u²x²dx – ux³du = 0

X²dx – ux²dx – 2u²x²dx – ux³du = 0

X²dx (-u -2u²) = ux³du

X²dx / x³ = udu / -2u² – u

ʃ dx / x = ʃ udu / -2u² – u

e^{(ln x = ln -2u -1 + c)}

x = c * e ^-2u -1             Ec. General

Sol. Particular

X = c * e ^-2(2/-3) -1

C = -3 / e ^-2(2/-3) -1

C = -1.7909

X = -1.7909 * e ^-2(2/-3) -1