ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Para resolver una ecuación diferencial homogénea se utiliza un cambio de variables utilizando la variable “u” para dicho proceso con los siguientes valores:

U = y/x

Y = ux

Dy = u*dx + x * du

Algoritmo:

1.- Se sustituye “y” y “dy” en la ecuación diferencial simplificando los términos semejantes.

2.- Se separan las variables en cada miembro de la ecuación

3.- Se resuelve la integral en cada miembro para encontrar la solución general.

4.- Se calcula el valor de la constante para el cálculo de las soluciones particulares

Ejemplo:

(x² – xy – y²) dx – xydy = 0             (-3,2)

(x² – x (ux) – (ux)²) dx – x (ux) (udx + xdu) = 0

(x² – ux² – u²x²) dx – ux²  (udx + xdu) = 0

X²dx – ux²dx – u²x²dx – u²x²dx – ux³du = 0

X²dx – ux²dx – 2u²x²dx – ux³du = 0

X²dx (-u -2u²) = ux³du

X²dx / x³ = udu / -2u² – u

ʃ dx / x = ʃ udu / -2u² – u

e^{(ln x = ln -2u -1 + c)}

x = c * e ^-2u -1             Ec. General

Sol. Particular

X = c * e ^-2(2/-3) -1

C = -3 / e ^-2(2/-3) -1

C = -1.7909

X = -1.7909 * e ^-2(2/-3) -1